Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 \\ - 8 & 0 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 - (- 8 \cdot - 7)$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - (- 8 \cdot - 7)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- (- 8 \cdot - 7)$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $- 8$ par $- 7$ .

$0 - 1 \cdot 56$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $56$ .

$0 - 56$

Étape 2.2.2

Soustrayez $56$ de $0$ .

$- 56$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 56} [\begin{array}{c} 0 & 7 \\ 8 & 1 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{56} [\begin{array}{c} 0 & 7 \\ 8 & 1 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{56}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{56} \cdot 0 & - \frac{1}{56} \cdot 7 \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez $- \frac{1}{56} \cdot 0$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 (\frac{1}{56}) & - \frac{1}{56} \cdot 7 \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{56}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{56} \cdot 7 \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 7.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{56}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{56} \cdot 7 \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.2.2

Factorisez $7$ à partir de $56$ .

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{7 (8)} \cdot 7 \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{7 \cdot 8} \cdot 7 \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{- 1}{8} \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{56}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{56} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Factorisez $8$ à partir de $56$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{8 (7)} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{8 \cdot 7} \cdot 8 & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{7} & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{7} & - \frac{1}{56} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{7} & - \frac{1}{56} \end{array}]$